एक घन का आयतन $8 \ cm^3 /s$ की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लंबायीं $12 \ cm$ है।
Exercise-6.1-2
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मान लीजिए कि घन के कोर की लंबाई $x$ है, आयतन $V$ है और पृष्ठ क्षेत्रफल $S$ है।
$\therefore V = x^3$ और $S = 6 x^2 (\because$ वर्ग के $6$ वर्ग फलक होते हैं जिसकी प्रत्येक भुजा $x$ है।$)$
जहाँ, $x$ समय $t$ का फलन है।
यह दिया गया है कि $\frac{d V}{d t} = 8$ सेमी$^3$ /से
तब, शृंखला नियम का प्रयोग करने पर,
$8 = \frac{d V}{d t} = \frac{d}{d t} (x^3) = 3x^2 \frac{d x}{d t} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{8}{3 x^{2}} ...(i)$
अब, $\frac{d S}{d t} = \frac{d}{d t} (6x^2) = 12x \frac{d x}{d t}$
$\Rightarrow \frac{d S}{d t} = 12x \left(\frac{8}{3 x^{2}}\right) = \frac{32}{x} [$समी $(i)$ से$]$
जब $x = 12$ सेमी, $\frac{d S}{d t} = \frac{32}{12}$ सेमी$^2/$ से $\Rightarrow \frac{d S}{d t} = \frac{8}{3}$ सेमी$^2/$ से
अतः यदि घन के कोर की लंबाई $12$ सेमी है, तब पृष्ठ क्षेत्रफल $\frac{8}{3}$ सेमी$^2 /$ से की दर से बढ़ रहा है।
$\therefore V = x^3$ और $S = 6 x^2 (\because$ वर्ग के $6$ वर्ग फलक होते हैं जिसकी प्रत्येक भुजा $x$ है।$)$
जहाँ, $x$ समय $t$ का फलन है।
यह दिया गया है कि $\frac{d V}{d t} = 8$ सेमी$^3$ /से
तब, शृंखला नियम का प्रयोग करने पर,
$8 = \frac{d V}{d t} = \frac{d}{d t} (x^3) = 3x^2 \frac{d x}{d t} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{8}{3 x^{2}} ...(i)$
अब, $\frac{d S}{d t} = \frac{d}{d t} (6x^2) = 12x \frac{d x}{d t}$
$\Rightarrow \frac{d S}{d t} = 12x \left(\frac{8}{3 x^{2}}\right) = \frac{32}{x} [$समी $(i)$ से$]$
जब $x = 12$ सेमी, $\frac{d S}{d t} = \frac{32}{12}$ सेमी$^2/$ से $\Rightarrow \frac{d S}{d t} = \frac{8}{3}$ सेमी$^2/$ से
अतः यदि घन के कोर की लंबाई $12$ सेमी है, तब पृष्ठ क्षेत्रफल $\frac{8}{3}$ सेमी$^2 /$ से की दर से बढ़ रहा है।
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