$\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+1\right)}$ बराबर है।
Exercise-7.5-23
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माना $\frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$
$\Rightarrow 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0, C = 0$ तथा $A = 1$
इन समीकरणों को सरल करने पर,
$A = 1, B = -1$ और $C = 0$
$\therefore \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^{2}+1}$
$\therefore \int \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1} d x\right)$
$= \log |x| - \frac{1}{2}\log (x^2 + 1) + C$
$($माना $x^2 = 1 = t$ $\Rightarrow 2x dx = dt$ $\Rightarrow x dx = \frac{dt}{2},$ $\therefore \int\frac{x}{x^2 + 1}dx = \int\frac{1}{t}\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\log t)$
$\Rightarrow 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0, C = 0$ तथा $A = 1$
इन समीकरणों को सरल करने पर,
$A = 1, B = -1$ और $C = 0$
$\therefore \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^{2}+1}$
$\therefore \int \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1} d x\right)$
$= \log |x| - \frac{1}{2}\log (x^2 + 1) + C$
$($माना $x^2 = 1 = t$ $\Rightarrow 2x dx = dt$ $\Rightarrow x dx = \frac{dt}{2},$ $\therefore \int\frac{x}{x^2 + 1}dx = \int\frac{1}{t}\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\log t)$
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