दो फलनों f: N $ \rightarrow$ Z तथा g : Z $ \rightarrow$ Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परंतु g एकैक नहीं है।
Miscellaneous Exercise-6
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मान लीजिए f : N $ \rightarrow$ Z
f(x) = x, $\forall$ x $\in$ N द्वारा परिभाषित फलन है
तथा g : Z $\rightarrow$ Z
g(x) = |x|, $\forall$ x $\in$ Z द्वारा परिभाषित फलन है।
चूँकि g(- 1) = |- 1| = 1
g(1) = |1| = 1
g(-1) = g (1) लेकिन - 1 $\neq$ 1
अतः g एकैकी फलन नहीं है।
अब मान लीजिए फलन gof : N $\rightarrow$ N
gof(x) = g(f(x)) = g(x) = |x|
द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए x, y $\in$ N इस प्रकार है कि
(gof)(x) = (go)(y) $ \Rightarrow$ |x| = |y|
चूँकि x, y $\in$ N, दोनों धनात्मक हैं।
$\therefore$ |x| = |y| $\Rightarrow$ x = y
अतः gof एकैकी फलन है।
f(x) = x, $\forall$ x $\in$ N द्वारा परिभाषित फलन है
तथा g : Z $\rightarrow$ Z
g(x) = |x|, $\forall$ x $\in$ Z द्वारा परिभाषित फलन है।
चूँकि g(- 1) = |- 1| = 1
g(1) = |1| = 1
g(-1) = g (1) लेकिन - 1 $\neq$ 1
अतः g एकैकी फलन नहीं है।
अब मान लीजिए फलन gof : N $\rightarrow$ N
gof(x) = g(f(x)) = g(x) = |x|
द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए x, y $\in$ N इस प्रकार है कि
(gof)(x) = (go)(y) $ \Rightarrow$ |x| = |y|
चूँकि x, y $\in$ N, दोनों धनात्मक हैं।
$\therefore$ |x| = |y| $\Rightarrow$ x = y
अतः gof एकैकी फलन है।
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