प्रारंभिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त कीजिए: $A = \left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]$
EXAMPLE-24
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हम जानते हैं कि $A = I A,$ अर्थात् $\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]A$
या $ \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A (R_1 \leftrightarrow R_2$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]A (R_3 \rightarrow R_{3 }- 3R_1$ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A (R_1 \rightarrow R_{1 }- 2R_2 $द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A (R_3 \rightarrow R_{3 }+ 5R_2$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_3 \rightarrow\frac{1}{2} R_3$ द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_1 \rightarrow R_{1 }+ R_{3 }$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]A (R_2 \rightarrow R_{2 }- 2R_{3 }$ द्वारा$)$
अतः $A^{-1 }= \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$
या $ \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A (R_1 \leftrightarrow R_2$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]A (R_3 \rightarrow R_{3 }- 3R_1$ द्वारा$)$
या $\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A (R_1 \rightarrow R_{1 }- 2R_2 $द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A (R_3 \rightarrow R_{3 }+ 5R_2$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_3 \rightarrow\frac{1}{2} R_3$ द्वारा$)$
$\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A (R_1 \rightarrow R_{1 }+ R_{3 }$ द्वारा$)$
या $ \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]A (R_2 \rightarrow R_{2 }- 2R_{3 }$ द्वारा$)$
अतः $A^{-1 }= \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$
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