सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c \end{array}\right| = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)$
$\left|\begin{array}{ccc} 3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c \end{array}\right| = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)$
Miscellaneous Exercise-13
Download our app for free and get started
माना $A = \left|\begin{array}{ccc} 3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c \end{array}\right| [C_1 \rightarrow C_{1 }+ C_{2 }+ C_{3 }$ से $]$
$= (a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c \end{array}\right| [C_1 $ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= (a + b + c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a \end{array}\right|$ $(R_2 \rightarrow R_{2 }- R_{1 }$ तथा $R_{3 } \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से$)$
$C_1$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = (a + b + c)[(2b + a)(2c + a) - (a - b)(a - c)]$
$= (a + b + c) [4bc + 2ab + 2ac + a^{2 }- a^{2 }+ ac + ba - bc]$
$= (a + b + c) (3ab + 3bc + 3ac)$
$= 3(a + b + c) (ab + bc + ca) =$ दायाँ पक्ष
$= \left|\begin{array}{ccc} a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c \end{array}\right| [C_1 \rightarrow C_{1 }+ C_{2 }+ C_{3 }$ से $]$
$= (a + b + c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c \end{array}\right| [C_1 $ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= (a + b + c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a+b & -a+c \\ 0 & 2 b+a & a-b \\ 0 & a-c & 2 c+a \end{array}\right|$ $(R_2 \rightarrow R_{2 }- R_{1 }$ तथा $R_{3 } \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से$)$
$C_1$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = (a + b + c)[(2b + a)(2c + a) - (a - b)(a - c)]$
$= (a + b + c) [4bc + 2ab + 2ac + a^{2 }- a^{2 }+ ac + ba - bc]$
$= (a + b + c) (3ab + 3bc + 3ac)$
$= 3(a + b + c) (ab + bc + ca) =$ दायाँ पक्ष
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{array}\right]$ में सत्यापित कीजिए कि $A(adj A) = (adj A)\cdot A = |A|\cdot I$ है।View Solution
- 2$\left|\begin{array}{ccc} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ के लिए $a$ और $b$ ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि $\ce{A^{2 }+ aA + bI = O}$ हो।View Solution
- 4आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ll} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{array}\right]$View Solution
- 5समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:View Solution
$2x - y = - 2$
$3x + 4y = 3$ - 6प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ समीकरण $A^2 - 4A + I =O,$ जहाँ I $2 \times 2$ कोटि का एक तत्समक आव्यूह है और $O, 2 \times 2$ कोटि का एक शून्य आव्यूह है। इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि सारणिकView Solution
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b x & c+d x & p+q x \\ a x+b & c x+d & p x+q \\ u & v & w \end{array}\right| = (1 - x^2)\left|\begin{array}{ccc} a & c & p \\ b & d & q \\ u & v & w \end{array}\right|$ - 8सारणिक $ \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि $\ce{a_{11} A_{31 }+ a_{12 }A_{32 }+ a_{13} A_{33 }= 0}$ है।View Solution
- 9यदि $A = \left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{array}\right], B = \left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{array}\right] ,$ तो सत्यापित कीजिए कि $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ है।View Solution
- 10यदि $A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{array}\right]$ और B = $ \left[\begin{array}{ll} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{array}\right]$ है तो सत्यापित कीजिए कि $(AB)^{-1 }= B^{-1}A^{-1 }$ है।View Solution