$\left|\begin{array}{ccc} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-9
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माना $A = \left|\begin{array}{ccc} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 2(x+y) & y & x+y \\ 2(x+y) & x+y & x \\ 2(x+y) & x & y \end{array}\right| (C_1 \rightarrow C_{1 }+ C_{2 }+ C_3$ से$)$
$= 2(x + y) \left|\begin{array}{ccc} 1 & y & x+y \\ 1 & x+y & x \\ 1 & x & y \end{array}\right| [C_1$ से $2(x + y)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= 2(x + y)\left|\begin{array}{ccc} 1 & y & x+y \\ 0 & x & -y \\ 0 & x-y & -x \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_1, R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से$)$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = 2(x + y) \times 1{- x^{2 }+ y(x - y)}$
$= 2(x + y)(- x^{2 }+ xy - y^2) $
$= - 2(x + y)(x^{2 }- xy + y^2) $
$= - 2(x^{3 }+ y^3)$
$= \left|\begin{array}{ccc} 2(x+y) & y & x+y \\ 2(x+y) & x+y & x \\ 2(x+y) & x & y \end{array}\right| (C_1 \rightarrow C_{1 }+ C_{2 }+ C_3$ से$)$
$= 2(x + y) \left|\begin{array}{ccc} 1 & y & x+y \\ 1 & x+y & x \\ 1 & x & y \end{array}\right| [C_1$ से $2(x + y)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= 2(x + y)\left|\begin{array}{ccc} 1 & y & x+y \\ 0 & x & -y \\ 0 & x-y & -x \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_1, R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से$)$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = 2(x + y) \times 1{- x^{2 }+ y(x - y)}$
$= 2(x + y)(- x^{2 }+ xy - y^2) $
$= - 2(x + y)(x^{2 }- xy + y^2) $
$= - 2(x^{3 }+ y^3)$
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