आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ के लिए $a$ और $b$ ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि $\ce{A^{2 }+ aA + bI = O}$ हो।
Exercise-4.4-14
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दिया है, $A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] $
$ \therefore A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right]$
पुनः दिया है, $A^{2 }+ aA + bl = 0$
$A, A^2$ तथा / का मान रखने पर,
$\left[\begin{array}{rr} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right] + a\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] + b \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = O$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{rr} 11+3 a+b & 8+2 a+0 \\ 4+a+0 & 3+a+b \end{array}\right] = 0$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{rr} 11+3 a+b & 8+2 a \\ 4+a & 3+a+b \end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
यदि दो आव्यूह समान हैं, तो उनके संगत अवयव भी समान होंगे
$\Rightarrow 11 + 3a + b = 0 ...(i)$
$8 + 2a = 0 ...(ii)$
$4 + a = 0 ...(iii)$
तथा $3 + a + b = 0 ...(iv)$
समी $(iii)$ तथा $(iv)$ को हल करने पर,
$4 + a = 0$
$\Rightarrow a = - 4$
तथा $3 + a + b = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 + b = 0$
$\Rightarrow b = 1$
अतः $a = -4$ तथा $b = 1$
$ \therefore A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right]$
पुनः दिया है, $A^{2 }+ aA + bl = 0$
$A, A^2$ तथा / का मान रखने पर,
$\left[\begin{array}{rr} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{array}\right] + a\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] + b \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = O$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{rr} 11+3 a+b & 8+2 a+0 \\ 4+a+0 & 3+a+b \end{array}\right] = 0$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{rr} 11+3 a+b & 8+2 a \\ 4+a & 3+a+b \end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
यदि दो आव्यूह समान हैं, तो उनके संगत अवयव भी समान होंगे
$\Rightarrow 11 + 3a + b = 0 ...(i)$
$8 + 2a = 0 ...(ii)$
$4 + a = 0 ...(iii)$
तथा $3 + a + b = 0 ...(iv)$
समी $(iii)$ तथा $(iv)$ को हल करने पर,
$4 + a = 0$
$\Rightarrow a = - 4$
तथा $3 + a + b = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 + b = 0$
$\Rightarrow b = 1$
अतः $a = -4$ तथा $b = 1$
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