सारणिक $ \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि $\ce{a_{11} A_{31 }+ a_{12 }A_{32 }+ a_{13} A_{33 }= 0}$ है।
EXAMPLE-22
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यहाँ $M_{11} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{array}\right| = 0 - 20 = - 20;$ इसलिए $A_{11 }= (- 1)^{1 + 1}(- 20) =- 20$
$M_{12 }= \left|\begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{array}\right| = - 42 - 4 = - 46;$ इसलिए $A_{12 }= (- 1)^{1 + 2}(- 46) = 46$
$M_{13} = \left|\begin{array}{ll} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right| = 30 - 0 = 30;$ इसलिए $A_{13 }= (- 1)^{1 + 3} (30) = 30$
$M_{21 }= \left|\begin{array}{cc} -3 & 5 \\ 5 & -7 \end{array}\right| = 21 - 25 = - 4$; इसलिए $A_{21 }= (- 1)^{2 + 1}(- 4) = 4$
$M_{22 }=\left|\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & -7 \end{array}\right| = - 14 - 5 = - 19;$ इसलिए $A_{22 }= (- 1)^{2 + 2}(- 19) = - 19$
$M_{23 }= \left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{array}\right| = 10 + 3 = 13;$ इसलिए $A_{23 }= (- 1)^{2 + 3} (13) = - 13$
$M_{31}= \left|\begin{array}{cc} -3 & 5 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = - 12 - 0 = -12;$ इसलिए $A_{31 }= (- 1)^{3 + 1 }(-12) = - 12$
$M_{32 }= \left|\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 6 & 4 \end{array}\right| = 8 - 30 = - 22;$ इसलिए $A_{32 }= (- 1)^{3 + 2}(- 22) = 22$
और $M_{33 }= \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 6 & 0\end{array}\right| = 0 + 18 = 18;$ इसलिए $A_{33 }= (- 1)^{3 + 3 }(18) = 18$
अब $a_{11 }= 2, a_{12 }= - 3, a_{13 }= 5;$ तथा $A_{31 }= - 12, A_{32 }= 22, A_{33 }= 18$ है।
इसलिए $\ce{a_{11 }A_{31 }+ a_{12 }A_{32 }+ a_{13} A_{33}}$
$= 2(- 12) + (- 3)(22) + 5(18) = -24 - 66 + 90 = 0$
$M_{12 }= \left|\begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{array}\right| = - 42 - 4 = - 46;$ इसलिए $A_{12 }= (- 1)^{1 + 2}(- 46) = 46$
$M_{13} = \left|\begin{array}{ll} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right| = 30 - 0 = 30;$ इसलिए $A_{13 }= (- 1)^{1 + 3} (30) = 30$
$M_{21 }= \left|\begin{array}{cc} -3 & 5 \\ 5 & -7 \end{array}\right| = 21 - 25 = - 4$; इसलिए $A_{21 }= (- 1)^{2 + 1}(- 4) = 4$
$M_{22 }=\left|\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & -7 \end{array}\right| = - 14 - 5 = - 19;$ इसलिए $A_{22 }= (- 1)^{2 + 2}(- 19) = - 19$
$M_{23 }= \left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{array}\right| = 10 + 3 = 13;$ इसलिए $A_{23 }= (- 1)^{2 + 3} (13) = - 13$
$M_{31}= \left|\begin{array}{cc} -3 & 5 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = - 12 - 0 = -12;$ इसलिए $A_{31 }= (- 1)^{3 + 1 }(-12) = - 12$
$M_{32 }= \left|\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 6 & 4 \end{array}\right| = 8 - 30 = - 22;$ इसलिए $A_{32 }= (- 1)^{3 + 2}(- 22) = 22$
और $M_{33 }= \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 6 & 0\end{array}\right| = 0 + 18 = 18;$ इसलिए $A_{33 }= (- 1)^{3 + 3 }(18) = 18$
अब $a_{11 }= 2, a_{12 }= - 3, a_{13 }= 5;$ तथा $A_{31 }= - 12, A_{32 }= 22, A_{33 }= 18$ है।
इसलिए $\ce{a_{11 }A_{31 }+ a_{12 }A_{32 }+ a_{13} A_{33}}$
$= 2(- 12) + (- 3)(22) + 5(18) = -24 - 66 + 90 = 0$
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