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सदिश बीजगणित — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसदिश बीजगणित2 Marks
Question
सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$, यदि और केवल यदि $\vec{a}, \vec{b}$ लंबवत् हैं। यह दिया हुआ है कि $\vec{a}$
$\neq$
$\vec{0}, \vec{b}$
$\neq$
$\vec{0}$.
✓

Answer

दिया है, $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow \vec{a}$
$\cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{b}$
$\cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow \vec{a}$
$\cdot$
$\vec{a} + \vec{a}$
$\cdot \vec{b} + \vec{b}\cdot$
$\vec{a} + \vec{b}\cdot$
$\vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}$
$\cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
2$\vec{a}$
$\cdot$
$\vec{b} = 0 [\because$
$\vec{a}$
$\cdot$
$\vec{b} = \vec{b}\cdot$
$\vec{a} \because$ अदिश गुणन क्रमविनिमेय है।
$\Rightarrow \vec{a}$
$\cdot$
$\vec{b} = 0$
$\therefore \vec{a}$ तथा $\vec{b}$ लंबवत् हैं। $($दिया गया है, $ a\neq 0, b \neq 0)$

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