समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^3 2t \ \cos 2tdt$
example-28(4)
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मान लीजिए$, \mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^32t \cos 2t dt$
अब $\int \sin^3 2t \cos 2t dt$ पर विचार कीजिए
$\sin 2t = u$ रखने पर $2 \cos 2t dt = du$ अथवा $\cos 2t dt = \frac{1}{2} du$
अतः $\in t\sin^{3 }2t \cos 2t dt =\frac{1}{2} \in t u^{3} d u$
$=\frac{1}{8}\left[u^{4}\right] =\frac{1}{8} \sin ^{4} 2 t = F(t)$ मान लीजिए
इसलिए कलन की द्वितीय आधारभूत प्रमेय से
$\mathrm{I}=\mathrm{F}\left(\frac{\pi}{4}\right) - F(0) $
$=\frac{1}{8}\left[\sin ^{4} \frac{\pi}{2}-\sin ^{4} 0\right] $
$=\frac{1}{8}$
अब $\int \sin^3 2t \cos 2t dt$ पर विचार कीजिए
$\sin 2t = u$ रखने पर $2 \cos 2t dt = du$ अथवा $\cos 2t dt = \frac{1}{2} du$
अतः $\in t\sin^{3 }2t \cos 2t dt =\frac{1}{2} \in t u^{3} d u$
$=\frac{1}{8}\left[u^{4}\right] =\frac{1}{8} \sin ^{4} 2 t = F(t)$ मान लीजिए
इसलिए कलन की द्वितीय आधारभूत प्रमेय से
$\mathrm{I}=\mathrm{F}\left(\frac{\pi}{4}\right) - F(0) $
$=\frac{1}{8}\left[\sin ^{4} \frac{\pi}{2}-\sin ^{4} 0\right] $
$=\frac{1}{8}$
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