समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x$
example-10(1)
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$px + q = \mathrm{A} \frac{d}{d x}\left(a x^{2}+b x+c\right)+\mathrm{B} = A(2ax + b) + B$ का उपयोग करते हुए हम अभिव्यक्त करते हैं
$x + 2 = A \frac{d} {dx}(2x^{2 }+ 6x + 5) + B = A (4x + 6) + B$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचरों को समान करने पर हम पाते हैं:
$4A = 1$ तथा $6A + B = 2$ अथवा $A = \frac{1}{4}$ और $B = \frac{1}{2}$
इसलिए $\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} =\frac{1}{4} \int \frac{4 x+6}{2 x^{2}+6 x+5} d x +\frac{1}{2} \int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5}$
$=\frac{1}{4} \mathrm{I}_{1}+\frac{1}{2} \mathrm{I}_{2} ($मान लीजिए$) ...(1)$
$I_1$ में$, 2x^{2 }+ 6x + 5 = t,$ रखने पर $(4x + 6) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{1}=\int \frac{d t}{t} = \log |t| +C_{1 }= \log ∣2x^{2 }+ 6x + 5∣ + C_1 ...(2)$
और $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5} =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+3 x+\frac{5}{2}} =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$
अब$, x + \frac{3}{2} = t,$ रखने पर $dx = dt,$ हम पाते हैं
$\mathrm{I}_{2}=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} \tan ^{-1} 2 t+\mathrm{C}_{2}$
$=\tan ^{-1} 2\left(x+\frac{3}{2}\right) + C_{2 }= \tan^{−1 }(2x + 3) + C_2 ...(3)$
$(2)$ और $(3)$ का उपयोग $(1)$ में करने पर हम पाते हैं
$\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x=\frac{1}{4} \log ∣2x^{2 }+ 6x + 5∣ + \frac{1} {2}\tan^{−1 }(2x + 3) + C$
जहाँ $C = \frac{\mathrm{C}_{1}}{4}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
$x + 2 = A \frac{d} {dx}(2x^{2 }+ 6x + 5) + B = A (4x + 6) + B$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचरों को समान करने पर हम पाते हैं:
$4A = 1$ तथा $6A + B = 2$ अथवा $A = \frac{1}{4}$ और $B = \frac{1}{2}$
इसलिए $\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} =\frac{1}{4} \int \frac{4 x+6}{2 x^{2}+6 x+5} d x +\frac{1}{2} \int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5}$
$=\frac{1}{4} \mathrm{I}_{1}+\frac{1}{2} \mathrm{I}_{2} ($मान लीजिए$) ...(1)$
$I_1$ में$, 2x^{2 }+ 6x + 5 = t,$ रखने पर $(4x + 6) dx = dt$
इसलिए $\mathrm{I}_{1}=\int \frac{d t}{t} = \log |t| +C_{1 }= \log ∣2x^{2 }+ 6x + 5∣ + C_1 ...(2)$
और $\mathrm{I}_{2}=\int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5} =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+3 x+\frac{5}{2}} =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$
अब$, x + \frac{3}{2} = t,$ रखने पर $dx = dt,$ हम पाते हैं
$\mathrm{I}_{2}=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} \tan ^{-1} 2 t+\mathrm{C}_{2}$
$=\tan ^{-1} 2\left(x+\frac{3}{2}\right) + C_{2 }= \tan^{−1 }(2x + 3) + C_2 ...(3)$
$(2)$ और $(3)$ का उपयोग $(1)$ में करने पर हम पाते हैं
$\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x=\frac{1}{4} \log ∣2x^{2 }+ 6x + 5∣ + \frac{1} {2}\tan^{−1 }(2x + 3) + C$
जहाँ $C = \frac{\mathrm{C}_{1}}{4}+\frac{\mathrm{C}_{2}}{2}$
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