$\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$ प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
Exercise-5.5-2
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मान लीजिए y = $ \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
log y = $ \log \left\{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}\right\}^{1 / 2}$
= $\frac{1}{2}$ [log (x - 1) (x - 2) - log (x - 3) ( x - 4) (x - 5)]
= $\frac{1}{2}$ {log (x - 1) + log (x - 2) - log (x - 3) - log (x - 4) - log (x - 5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}$ = $\frac{1}{2}$ [$\frac{d}{d x}$ log (x - 1) + $\frac{d}{d x}$ log (x - 2) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 3) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 4) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 5)]
= $\frac{1}{2}$ {$\frac{1}{x-1}$ (1 - 0) + $ \frac{1}{x-2}$ (1 - 0) - $\frac{1}{x-3}$ (1 - 0) - $ \frac{1}{x-4}$ (1 - 0) - $ \frac{1}{x-5}$ (1 - 0)}
$\Rightarrow$ $ \frac{d y}{d x}$ = $\frac{y}{2}\left\{\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\right)-\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}\right)\right\}$
= $\frac{1}{2} $ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$ $\left\{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}\right\}$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
log y = $ \log \left\{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}\right\}^{1 / 2}$
= $\frac{1}{2}$ [log (x - 1) (x - 2) - log (x - 3) ( x - 4) (x - 5)]
= $\frac{1}{2}$ {log (x - 1) + log (x - 2) - log (x - 3) - log (x - 4) - log (x - 5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}$ = $\frac{1}{2}$ [$\frac{d}{d x}$ log (x - 1) + $\frac{d}{d x}$ log (x - 2) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 3) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 4) - $\frac{d}{d x}$ log (x - 5)]
= $\frac{1}{2}$ {$\frac{1}{x-1}$ (1 - 0) + $ \frac{1}{x-2}$ (1 - 0) - $\frac{1}{x-3}$ (1 - 0) - $ \frac{1}{x-4}$ (1 - 0) - $ \frac{1}{x-5}$ (1 - 0)}
$\Rightarrow$ $ \frac{d y}{d x}$ = $\frac{y}{2}\left\{\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\right)-\left(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}\right)\right\}$
= $\frac{1}{2} $ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$ $\left\{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}\right\}$
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