a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
Exercise-5.1-17
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यहाँ,
अब, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ (ax + 1)
x = 3 - h रखने पर, x $\rightarrow 3^{-}$ $\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\Rightarrow $ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [a(3 - h) + 1] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (3a - ah + 1) = 3a + 1
तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3}$ (bx + 3)
x = 3 + h रखने पर, x $\rightarrow 3^{+} $$\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\Rightarrow $ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [b(3 + h) + 3] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (3b + bh + 3) = 3b + 3
पुनः f(3) = 3a + 1 [$\because$ f(x) = ax + 1]
चूँकि f(x), x = 3 पर सतत् फलन है।
LHL = RHL = f(3)
$\Rightarrow$ 3a + 1 = 3b + 3 $\Rightarrow$ 3a = 3b + 2 $\Rightarrow$ a = b + $\frac{2}{3}$
अब, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ (ax + 1)
x = 3 - h रखने पर, x $\rightarrow 3^{-}$ $\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\Rightarrow $ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [a(3 - h) + 1] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (3a - ah + 1) = 3a + 1
तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3}$ (bx + 3)
x = 3 + h रखने पर, x $\rightarrow 3^{+} $$\Rightarrow $ h $\rightarrow$ 0
$\Rightarrow $ $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ [b(3 + h) + 3] = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ (3b + bh + 3) = 3b + 3
पुनः f(3) = 3a + 1 [$\because$ f(x) = ax + 1]
चूँकि f(x), x = 3 पर सतत् फलन है।
LHL = RHL = f(3)
$\Rightarrow$ 3a + 1 = 3b + 3 $\Rightarrow$ 3a = 3b + 2 $\Rightarrow$ a = b + $\frac{2}{3}$
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