$x = a(\theta - \sin \theta ), y = a(1 + \cos \theta )$ में $x$ तथा $y$ दिए समीकरणों द्वारा, एक दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.6-6
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दिया है, $x = a(\theta - \sin \theta)$ तथा $y = a(1 + \cos \theta)$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\therefore \frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} a(\theta - \sin \theta) = a(1 - \cos \theta)$
तथा $\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} a(1 + \cos \theta) = a(0 - \sin \theta)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{d y}{d \theta} \times \frac{d \theta}{d x} = \frac{-2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)} = - \cot (\frac{\theta}{2}) ( \because \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} , 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\therefore \frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} a(\theta - \sin \theta) = a(1 - \cos \theta)$
तथा $\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} a(1 + \cos \theta) = a(0 - \sin \theta)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{d y}{d \theta} \times \frac{d \theta}{d x} = \frac{-2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)} = - \cot (\frac{\theta}{2}) ( \because \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} , 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
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