क्या 
द्वारा परिभाषित फलन f
x = 0, x = 1, तथा x = 2 पर संतत है?
द्वारा परिभाषित फलन f x = 0, x = 1, तथा x = 2 पर संतत है?
Exercise-5.1-5
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x = 0 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(x)$
x = 0 - h रखने पर, x $ \rightarrow 0^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}(0-h)$ = 0 - 0 = 0
तथा RHL = $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x) $
x = 0 - h रखने पर, x $\rightarrow 0^{+} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim _{h \rightarrow 0}$ (0 + h) = 0 + 0 = 0
पुनः f(0) = 0 [$\because$ f(x) = x]
$\therefore$ LHL = RHL = f(0)
अतः f(x), x = 0 पर सतत् है।
x = 1 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(x)$
x = 0 - h रखने पर, x $ \rightarrow 1^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}(1-h)$ = 1 - 0 = 1
तथा LHL = $ \lim _{x \rightarrow 1^{+}}$f(x) = 5 $\therefore$ LHL $\ne$ RHL
अतः f(x), x = 1 पर सतत् नहीं है।
पुनः x = 2 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(x)$
RHL = $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} $ f(x) = 5
पुनः f(2) = 5 $\therefore$ LHL = RHL = f(2)
अतः f(x), x = 2 पर सतत् है।
x = 0 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(x)$
x = 0 - h रखने पर, x $ \rightarrow 0^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}(0-h)$ = 0 - 0 = 0
तथा RHL = $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}$ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x) $
x = 0 - h रखने पर, x $\rightarrow 0^{+} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim _{h \rightarrow 0}$ (0 + h) = 0 + 0 = 0
पुनः f(0) = 0 [$\because$ f(x) = x]
$\therefore$ LHL = RHL = f(0)
अतः f(x), x = 0 पर सतत् है।
x = 1 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(x)$
x = 0 - h रखने पर, x $ \rightarrow 1^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}(1-h)$ = 1 - 0 = 1
तथा LHL = $ \lim _{x \rightarrow 1^{+}}$f(x) = 5 $\therefore$ LHL $\ne$ RHL
अतः f(x), x = 1 पर सतत् नहीं है।
पुनः x = 2 पर, LHL = $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} $ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(x)$
RHL = $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} $ f(x) = 5
पुनः f(2) = 5 $\therefore$ LHL = RHL = f(2)
अतः f(x), x = 2 पर सतत् है।
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