सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $x + y = \tan^{-1}y \ ($स्पष्ट अथवा अस्पष्ट$)$ संगत अवकल समीकरण $y^2y' + y^2 + 1 = 0$ का हल है।
Exercise-9.2-9
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दिया है$, x + y = \tan^{-1}y ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}(x+y)=\frac{d}{d x} \tan ^{-1} y$
$ \Rightarrow 1+y^{\prime}=\frac{1}{1+y^{2}}\left(y^{\prime}\right)$
$ \left(\because \frac{d y}{d x}=y^{\prime}\right)$
$\Rightarrow (1 + y')(1 + y^2) = y'$
$\Rightarrow 1 + y^2 + y' + y^2y' = y'$
$\Rightarrow 1 + y^2 + y^2y' = 0$
$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{-\left(1+y^{2}\right)}{y^{2}}$
दिया गया अवकल समीकरण है$, y^2y' + y^2 + 1 = 0 ...(ii)$
अब, हम इसकी सत्यता की जाँच करेंगे।
$y'$ का मान अवकल समी. $(ii)$ रखने पर,
बायाँ पक्ष $=y^{2}\left\{\frac{-\left(1+y^{2}\right)}{y^{2}}\right\}+y^{2}+1 = -(1 + y^2) + (1 + y^2) = 0 =$ बायाँ पक्ष
अतः $x + y = \tan^{-1}y$ दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}(x+y)=\frac{d}{d x} \tan ^{-1} y$
$ \Rightarrow 1+y^{\prime}=\frac{1}{1+y^{2}}\left(y^{\prime}\right)$
$ \left(\because \frac{d y}{d x}=y^{\prime}\right)$
$\Rightarrow (1 + y')(1 + y^2) = y'$
$\Rightarrow 1 + y^2 + y' + y^2y' = y'$
$\Rightarrow 1 + y^2 + y^2y' = 0$
$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{-\left(1+y^{2}\right)}{y^{2}}$
दिया गया अवकल समीकरण है$, y^2y' + y^2 + 1 = 0 ...(ii)$
अब, हम इसकी सत्यता की जाँच करेंगे।
$y'$ का मान अवकल समी. $(ii)$ रखने पर,
बायाँ पक्ष $=y^{2}\left\{\frac{-\left(1+y^{2}\right)}{y^{2}}\right\}+y^{2}+1 = -(1 + y^2) + (1 + y^2) = 0 =$ बायाँ पक्ष
अतः $x + y = \tan^{-1}y$ दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
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