स्वेच्छ अचरों $a$ तथा $b$ को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्र $y = e^{2x}(a + bx)$ के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.3-4
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दी गई वक्र $y = e^{2x}(a + bx) ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x}=e^{2 x} \frac{d}{d x} (a + bx) + (a + bx) \frac{d}{d x} e^{2 x} ($अवकलन के गुणनफल नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{2x}(b) + 2e^{2x}(a + bx)$
$\Rightarrow y' = 2y + be^{2x} ...(ii) [$समी. $(i)$ से$]$
समी. $(ii)$ को पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y'' = 2y' + 2be^{2x} ...(iii)$
समी. $(ii)$ में $2$ से गुणा करके समी. $(iii)$ से घटाने पर,
$y'' = 2y' + 2(y' - 2y)$
$\Rightarrow y' = 2y' + 2y' - 4y$
$\Rightarrow y'' - 4y' + 4y = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x}=e^{2 x} \frac{d}{d x} (a + bx) + (a + bx) \frac{d}{d x} e^{2 x} ($अवकलन के गुणनफल नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{2x}(b) + 2e^{2x}(a + bx)$
$\Rightarrow y' = 2y + be^{2x} ...(ii) [$समी. $(i)$ से$]$
समी. $(ii)$ को पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y'' = 2y' + 2be^{2x} ...(iii)$
समी. $(ii)$ में $2$ से गुणा करके समी. $(iii)$ से घटाने पर,
$y'' = 2y' + 2(y' - 2y)$
$\Rightarrow y' = 2y' + 2y' - 4y$
$\Rightarrow y'' - 4y' + 4y = 0$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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