सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $xy = ae^x + be^{-x} + x^2 ($स्पष्ट अथवा अस्पष्ट$)$ संगत अवकल समीकरण $x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x} - xy + x^2 - 2 = 0$ का हल है।
Miscellaneous Exercise-2
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दिया है,
$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x} - xy + x^2 - 2 = 0 ...(i)$
तथा $y = ae^x + be^{-x} + x^2$
$x $ के सापेक्ष समाकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = ae^x - be^{-x} + 2x$
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = ae^x + be^{-x} + 2$
अब $, y, \frac{d y}{d x}$ तथा $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
बायाँ पक्ष $= x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x} - xy + x^2 - 2$
$= x(ae^x + be^{-x} + 2) + 2(ae^x - be^{-x} + 2x) - x(ae^x + be^{-x} + x^2) + x^2 - 2$
$= (axe^x + bxe^{-x} + 2x) + (2ae^x - 2be^{-x} + 4x) - (axe^x + bxe^{-x} + x^3) + x^2 - 2$
$= 2ae^x - 2be^{-x} + 2x + 2ae^x - 2be^{-x} + 4x - axe^x - bxe^{-x} - x^3 + x^2 - 2$
$= 2ae^x - 2be^{-x} - x^3 + x^2 + 6x - 2 \ne 0$
दायाँ पक्ष $\ne$ बायाँ पक्ष
अतः दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का हल नहीं है।
$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x} - xy + x^2 - 2 = 0 ...(i)$
तथा $y = ae^x + be^{-x} + x^2$
$x $ के सापेक्ष समाकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = ae^x - be^{-x} + 2x$
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = ae^x + be^{-x} + 2$
अब $, y, \frac{d y}{d x}$ तथा $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
बायाँ पक्ष $= x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x} - xy + x^2 - 2$
$= x(ae^x + be^{-x} + 2) + 2(ae^x - be^{-x} + 2x) - x(ae^x + be^{-x} + x^2) + x^2 - 2$
$= (axe^x + bxe^{-x} + 2x) + (2ae^x - 2be^{-x} + 4x) - (axe^x + bxe^{-x} + x^3) + x^2 - 2$
$= 2ae^x - 2be^{-x} + 2x + 2ae^x - 2be^{-x} + 4x - axe^x - bxe^{-x} - x^3 + x^2 - 2$
$= 2ae^x - 2be^{-x} - x^3 + x^2 + 6x - 2 \ne 0$
दायाँ पक्ष $\ne$ बायाँ पक्ष
अतः दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का हल नहीं है।
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