सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $x^2 = 2y^2log\ y\ ($स्पष्ट अथवा अस्पष्ट$)$ संगत अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)\frac{d y}{d x} - xy = 0$ का हल है।
Miscellaneous Exercise-2
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दिया है$, x^2 = 2y^2 \log \ y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2 x=2\left(y^{2} \times \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}+\log y \times 2 y \frac{d y}{d x}\right)$
$\Rightarrow 2x = 2(y + 2y \log y) \frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow x = (y + 2y \log y) \frac{d y}{d x}$
$y$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$xy = (y^2 + 2y^2 \log y)\frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow xy = (y^2 + x^2) \frac{d y}{d x} [$समी. $(i)$ से $x^2 = 2y^2 \log y]$
$\Rightarrow (x^2 + y^2) \frac{d y}{d x} - xy = 0$
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2 x=2\left(y^{2} \times \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}+\log y \times 2 y \frac{d y}{d x}\right)$
$\Rightarrow 2x = 2(y + 2y \log y) \frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow x = (y + 2y \log y) \frac{d y}{d x}$
$y$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$xy = (y^2 + 2y^2 \log y)\frac{d y}{d x}$
$\Rightarrow xy = (y^2 + x^2) \frac{d y}{d x} [$समी. $(i)$ से $x^2 = 2y^2 \log y]$
$\Rightarrow (x^2 + y^2) \frac{d y}{d x} - xy = 0$
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
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