तीन संख्याओं का योग $6$ है। यदि हम तीसरी संख्या को $3$ से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दें तो हमें $11$ प्राप्त होता है। पहली ओर तीसरी को जोड़ने से हमें दूसरी संख्या का दुगुना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निरूपण कीजिए और आव्यूह विधि से संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-29
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मान लीजिए पहली, दूसरी व तीसरी संख्या क्रमशः $x, y$ और $z,$ द्वारा निरूपित है। तब दी गई शर्तों के अनुसार हमें प्राप्त होता है:
$x + y + z = 6$
$y + 3z =11$
$x + z = 2y$
या $x - 2y + z = 0$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right], X =$ और $B =\left[\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right] $है।
यहाँ $|A| = 1(1 + 6) + 0 + 1(3 - 1) = 9 \neq 0$ है। अब हम $adj A$ ज्ञात करते हैं।
$A_{11 }= 1(1 + 6) = 7, A_{12} = - (0 - 3) = 3, A_{13 }= - 1$
$A_{21 }= -(1 + 2) = - 3, A_{22 }= 0, A_{23 }= - (- 2 - 1) = 3$
$A_{31 }= (3 - 1) = 2, A_{32 }= - (3 - 0) = - 3, A_{33 }= (1 - 0) = 1$
अतः $adj A = \left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$
इस प्रकार $A^{-1} = \frac{1}{|\mathrm{~A}|} adj. (A) = \frac{1}{9} \left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$
क्योंकि $X = A^{-1 }B$
$X = \frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right]$
या $ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$ = $\frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{c} 42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0 \end{array}\right]$= $\frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{c} 9 \\ 18 \\ 27 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]$
अतः $x = 1, y = 2, z = 3$
$x + y + z = 6$
$y + 3z =11$
$x + z = 2y$
या $x - 2y + z = 0$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right], X =$ और $B =\left[\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right] $है।
यहाँ $|A| = 1(1 + 6) + 0 + 1(3 - 1) = 9 \neq 0$ है। अब हम $adj A$ ज्ञात करते हैं।
$A_{11 }= 1(1 + 6) = 7, A_{12} = - (0 - 3) = 3, A_{13 }= - 1$
$A_{21 }= -(1 + 2) = - 3, A_{22 }= 0, A_{23 }= - (- 2 - 1) = 3$
$A_{31 }= (3 - 1) = 2, A_{32 }= - (3 - 0) = - 3, A_{33 }= (1 - 0) = 1$
अतः $adj A = \left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$
इस प्रकार $A^{-1} = \frac{1}{|\mathrm{~A}|} adj. (A) = \frac{1}{9} \left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$
क्योंकि $X = A^{-1 }B$
$X = \frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right]$
या $ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$ = $\frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{c} 42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0 \end{array}\right]$= $\frac{1}{9}$$\left[\begin{array}{c} 9 \\ 18 \\ 27 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]$
अतः $x = 1, y = 2, z = 3$
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