$(\cos x)^{y }= (\cos y)^{x }$ में प्रदत्त फलनों के लिए $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.5-14
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दिया है,$ (\cos x)^{y }= (\cos y)^x$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\log{(\cos x)^y} = \log {(\cos y)^x}$ या $y \log (\cos x) = x \log (\cos y)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y \frac{d}{d x}(\log \cos x) + \log \cos x \frac{d}{d x}y$
$= x \frac{d}{d x}(\log \cos y) + \log \cos y\frac{d}{d x}x ($गुणन नियम से$)$
$y\left(\frac{1}{\cos x}\right) (- \sin x) + \log (\cos x) \frac{d y}{d x}$
$= x\left(\frac{1}{\cos y}\right) (- \sin y) \frac{d y}{d x} + \log (\cos y)1$
$\Rightarrow \log (\cos x) \frac{d y}{d x} + x \tan y \frac{d y}{d x} = \log (\cos y) + y \tan x$
$\Rightarrow [\log(\cos x) + x \tan y]\frac{d y}{d x} = \log (\cos y) + y \tan x$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\log (\cos y)+y(\tan x)}{\log (\cos x)+x \tan y}$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\log{(\cos x)^y} = \log {(\cos y)^x}$ या $y \log (\cos x) = x \log (\cos y)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y \frac{d}{d x}(\log \cos x) + \log \cos x \frac{d}{d x}y$
$= x \frac{d}{d x}(\log \cos y) + \log \cos y\frac{d}{d x}x ($गुणन नियम से$)$
$y\left(\frac{1}{\cos x}\right) (- \sin x) + \log (\cos x) \frac{d y}{d x}$
$= x\left(\frac{1}{\cos y}\right) (- \sin y) \frac{d y}{d x} + \log (\cos y)1$
$\Rightarrow \log (\cos x) \frac{d y}{d x} + x \tan y \frac{d y}{d x} = \log (\cos y) + y \tan x$
$\Rightarrow [\log(\cos x) + x \tan y]\frac{d y}{d x} = \log (\cos y) + y \tan x$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\log (\cos y)+y(\tan x)}{\log (\cos x)+x \tan y}$
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