$y^{x }= x$ में प्रदत्त फलनों के लिए $\frac{dy}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.5-13
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दिया है, $y^{x }= x^y$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\log y^{x }= \log x^y$
$\Rightarrow x \log y = y \log x$
$x$ सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}(x log y) = \frac{d}{d x}(y log x)$
$\Rightarrow x \left(\frac{1}{y}\right) \frac{d y}{d x} + (log y) = y \frac{1}{x} + (log x) \frac{d y}{d x} ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{x}{y} \frac{d y}{d x} - (log x) \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - log y$
$\Rightarrow ( \frac{x}{y} - log x) \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - log y$
$\Rightarrow \left(\frac{x-y \log x}{y}\right) \frac{d y}{d x} = \frac{y-x \log y}{x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \left(\frac{y-x \log y}{x-y \log x}\right)$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\log y^{x }= \log x^y$
$\Rightarrow x \log y = y \log x$
$x$ सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}(x log y) = \frac{d}{d x}(y log x)$
$\Rightarrow x \left(\frac{1}{y}\right) \frac{d y}{d x} + (log y) = y \frac{1}{x} + (log x) \frac{d y}{d x} ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{x}{y} \frac{d y}{d x} - (log x) \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - log y$
$\Rightarrow ( \frac{x}{y} - log x) \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - log y$
$\Rightarrow \left(\frac{x-y \log x}{y}\right) \frac{d y}{d x} = \frac{y-x \log y}{x}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \left(\frac{y-x \log y}{x-y \log x}\right)$
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