$y = \cos^{-1 }(\frac{2 x}{1+x^{2}}), - 1 < x < 1$ में $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-13
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$x = \tan \theta \Rightarrow \theta = \tan^{-1} x$ रखने पर,
$y = \cos^{-1 }(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \cos^{-1}(\sin 2 \theta) (\because \sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \cos^{-1 }[\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)] ( \because \sin 2 \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)]$
$\Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2 \theta \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x (\because \theta = \tan^{-1} x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{2}{1+x^{2}}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-2}{1+x^{2}} [\because \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{1+x^{2}}]$
$y = \cos^{-1 }(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \cos^{-1}(\sin 2 \theta) (\because \sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta})$
$\Rightarrow y = \cos^{-1 }[\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)] ( \because \sin 2 \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)]$
$\Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2 \theta \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x (\because \theta = \tan^{-1} x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{2}{1+x^{2}}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-2}{1+x^{2}} [\because \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{1+x^{2}}]$
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