यदि $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right]$ , जहाँ $0 \leq \theta \le 2 \pi$ हो तो:
Miscellaneous Exercise-19
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दिया है, $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right] |A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right|$
$= 1(1+ \sin ^2 \theta ) - \sin \theta (- \sin \theta + \sin \theta ) + 1(\sin^2\theta + 1)$
$= 2 + 2 \sin^2 \theta$
$0 \leq \theta \leq 2 \pi$ के लिए, $- 1 \leq sin \theta \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$
$\Rightarrow 1 \leq 1 + \sin^2 \theta$
$\leq 2 \Rightarrow 2 \leq 2(1 + \sin^2 \theta ) \leq 4$
$\therefore det (A) \in [2, 4]$
$= 1(1+ \sin ^2 \theta ) - \sin \theta (- \sin \theta + \sin \theta ) + 1(\sin^2\theta + 1)$
$= 2 + 2 \sin^2 \theta$
$0 \leq \theta \leq 2 \pi$ के लिए, $- 1 \leq sin \theta \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$
$\Rightarrow 1 \leq 1 + \sin^2 \theta$
$\leq 2 \Rightarrow 2 \leq 2(1 + \sin^2 \theta ) \leq 4$
$\therefore det (A) \in [2, 4]$
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