यदि $A = \left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right],$ तो सिद्ध कीजिए $A^{n }= \left[\begin{array}{lll} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right], n \in N$
Miscellaneous Exercise-2
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यहाँ, $A = \left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$
गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा हम इसे सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए $P(n) : A^n = \left[\begin{array}{lll}3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}\end{array}\right]$
$n = 1$ रखने पर,
$P(1): A^{1 }= \left[\begin{array}{lll} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] ...(i)$
जोकि $n = 1$ के लिए सत्य है, मान लीजिए कि यह $n = k$ के लिए भी सत्य है।
$\therefore P(k) : A^{k }= \left[\begin{array}{lll}3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1}\end{array}\right]...(ii)$
$n = k + 1$ रखने पर, $\therefore P(k + 1): A^k + 1 = \left[\begin{array}{lll} 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \end{array}\right]$
बायाँ पक्ष $= A^{k + 1 }= A^K \cdot t A^1$
$A^K \cdot A^{1 }= \left[\begin{array}{lll}3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1}\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] [$समी $(i)$ तथा $(ii)$ के प्रयोग से$]$
$= \left[\begin{array}{lll} 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\ 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\ 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \end{array}\right]$
आव्यूह गुणनफल के प्रयोग से,
$= \left[\begin{array}{lll}3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} \\ 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} \\ 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll}3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k}\end{array}\right] =$ दायाँ पक्ष
अतः जब यह $n = k$ के लिए सत्य है, तो $n = k + 1$ के लिए भी सत्य होगा। अर्थात् गणितीय आगमन $n \in N$ के लिए यह सत्य है।
गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा हम इसे सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए $P(n) : A^n = \left[\begin{array}{lll}3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}\end{array}\right]$
$n = 1$ रखने पर,
$P(1): A^{1 }= \left[\begin{array}{lll} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] ...(i)$
जोकि $n = 1$ के लिए सत्य है, मान लीजिए कि यह $n = k$ के लिए भी सत्य है।
$\therefore P(k) : A^{k }= \left[\begin{array}{lll}3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1}\end{array}\right]...(ii)$
$n = k + 1$ रखने पर, $\therefore P(k + 1): A^k + 1 = \left[\begin{array}{lll} 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \end{array}\right]$
बायाँ पक्ष $= A^{k + 1 }= A^K \cdot t A^1$
$A^K \cdot A^{1 }= \left[\begin{array}{lll}3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1}\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] [$समी $(i)$ तथा $(ii)$ के प्रयोग से$]$
$= \left[\begin{array}{lll} 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\ 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \\ 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} & 3^{k-1}+3^{k-1}+3^{k-1} \end{array}\right]$
आव्यूह गुणनफल के प्रयोग से,
$= \left[\begin{array}{lll}3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} \\ 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} \\ 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1} & 3 \times 3^{k-1}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll}3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k} \\ 3^{k} & 3^{k} & 3^{k}\end{array}\right] =$ दायाँ पक्ष
अतः जब यह $n = k$ के लिए सत्य है, तो $n = k + 1$ के लिए भी सत्य होगा। अर्थात् गणितीय आगमन $n \in N$ के लिए यह सत्य है।
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