यदि $A = \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $A^{2 }- 5A + 7I = O$ है।
Miscellaneous Exercise-8
Download our app for free and get started
दिया है, $A = \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
अब, $A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right]$
$\therefore A^{2 }- 5A +7l = \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - 5\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] + 7\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0$
अब, $A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right]$
$\therefore A^{2 }- 5A +7l = \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - 5\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] + 7\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1यदि $\left[\begin{array}{lll} x & -5 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x \\ 4 \\ 1 \end{array}\right] = 0$ है तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2मान लीजिए कि $A = \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ हो तो दिखाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $(aI + bA)^{n }= a^{n }I + n a^{n - 1} bA,$ जहाँ $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है।View Solution
- 3यदि $A = \left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right],$ तो सिद्ध कीजिए $A^{n }= \left[\begin{array}{lll} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right], n \in N$View Solution
- 4आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि X $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{rrr} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right] $ है।View Solution
- 5यदि $A = \left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right],$ तो सिद्ध कीजिए $A^{n }= \left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right],$ जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।View Solution
- 6$x$ के किस मान के लिए $\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ x \end{array}\right]= O $ है?View Solution
- 7एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ $x, y$ तथा $z$ का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित $($निदर्शित$)$ हैView Solution
बाजार उत्पादन $I$ $10000$ $2000$ $18000$ $II$ $6000$ $20000$ $8000$ - यदि $x, y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: $₹2.50, ₹1.50$ तथा $₹1.00$ हैं, तो प्रत्येक बाजार में कुल आय $($Revenue$)$, आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
- यदि उपरोक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत $($Cost$)$ क्रमश: $₹2.00, ₹1.00$ तथा $50$ पैसे है, तो कुल लाभ $($Gross Profit$)$ ज्ञात कीजिए।