यदि $\Delta$ = $ \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।
EXAMPLE-7
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हम ज्ञात कर चुके हैं कि $\Delta = \left|\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right| = - 28$
$R_2$ और $R_3$ को परस्पर परिवर्तित करने पर अर्थात् $R_2 \leftrightarrow R_3$ से
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 5 & -7 \\ 6 & 0 & 4 \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
सारणिक $\Delta_{1}$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta_{1} = 2\left|\begin{array}{cc} 5 & -7 \\ 0 & 4 \end{array}\right| - (-3) \left|\begin{array}{cc} 1 & -7 \\ 6 & 4 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 6 & 0 \end{array}\right|$
$= 2(20 - 0) + 3(4 + 42) + 5(0 - 30)$
$= 40 + 138 - 150 = 28$
$\Delta_{1} = - \Delta$
स्पष्टतया
अतः गुणधर्म $2$ सत्यापित हुआ।
$R_2$ और $R_3$ को परस्पर परिवर्तित करने पर अर्थात् $R_2 \leftrightarrow R_3$ से
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 5 & -7 \\ 6 & 0 & 4 \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
सारणिक $\Delta_{1}$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta_{1} = 2\left|\begin{array}{cc} 5 & -7 \\ 0 & 4 \end{array}\right| - (-3) \left|\begin{array}{cc} 1 & -7 \\ 6 & 4 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 6 & 0 \end{array}\right|$
$= 2(20 - 0) + 3(4 + 42) + 5(0 - 30)$
$= 40 + 138 - 150 = 28$
$\Delta_{1} = - \Delta$
स्पष्टतया
अतः गुणधर्म $2$ सत्यापित हुआ।
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