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सारणिक — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसारणिक1 Mark
Question
यदि $A =  \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] $ है तो दर्शाइए कि $A^{2 }- 5A + 7I = O$ है इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।
✓

Answer

दिया है, $A =  \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
$\therefore A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right] =  \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] $
अब, $A^{2 }- 5A + 7I$
$= \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] -  5\left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]  +   7\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right]  -  \left[\begin{array}{rr} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right]  +  \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{rr} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right]  =   \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0$
$\therefore A^{2 } 5A + 7I = 0$
$\because |A| = \left|\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = 6 + 1 = 7 \neq  0  \therefore  A^{-1}$   विद्यमान है।
अब,
$A \cdot A - 5A = - 7I$
दोनों तरफ $A^{-1}$ से गुणा करने पर,
$A \cdot  A (A^{-1}) - 5 A A^{-1 }= - 7 \mid A^{-1}$
$\Rightarrow Al - 5l = -7A^{-1} (\because A A^{-1 }= I$ तथा $I A^{-1 }= A^{-1 }$ से$)$
$\Rightarrow A^{-1 }= - \frac{1}{7} (A - 5I) $
$\Rightarrow  A^{-1 }=  \frac{1}{7} (5l - A)$
$= \frac{1}{7}$$ \left(\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\right) $
$=  \frac{1}{7}$ $\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]$ 
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{7} \left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]$

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