यदि $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ है तो $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-37
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मान लीजिए कि $x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta$ है तब
$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{3}{2}} = \left(a \cos ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}} + \left(a \sin ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}}$
$= a^{\frac{2}{3}}(\cos^2 \theta + (\sin^2 \theta) = a^{\frac{2}{3}}$
अतः $x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta, x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ का प्राचलिक समीकरण है।
इस प्रकार, $\frac{d x}{d \theta} = - 3a \cos^2 \theta \sin \theta $और $\frac{d y}{d \theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
इसलिए, $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta} = -\tan \theta = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$
$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{3}{2}} = \left(a \cos ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}} + \left(a \sin ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}}$
$= a^{\frac{2}{3}}(\cos^2 \theta + (\sin^2 \theta) = a^{\frac{2}{3}}$
अतः $x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta, x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ का प्राचलिक समीकरण है।
इस प्रकार, $\frac{d x}{d \theta} = - 3a \cos^2 \theta \sin \theta $और $\frac{d y}{d \theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
इसलिए, $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} = \frac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta} = -\tan \theta = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$
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