f(x) = [x] द्वारा परिभाषित महत्तम पूर्णांक फलन के असांतत्य के समस्त बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक को प्रकट करता है, जो x से कम या उसके बराबर है।
EXAMPLE-15
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पहले तो हम यह देखते हैं कि f सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। इस फलन का आलेख आकृति में दिखाया गया है।
आलेख से ऐसा प्रतीत होता है कि प्रदत्त फलन x के सभी पूर्णांक मानों के लिए असंतत है। नीचे हम छानबीन करेंगे कि क्या यह सत्य है।
दशा 1 मान लीजिए कि c एक ऐसी वास्तविक संख्या है, जो किसी भी पूर्णांक के बराबर नहीं है। आलेख से यह स्पष्ट है कि c के निकट की सभी वास्तविक संख्याओं के लिए दिए हुए फलन का मान [c]; हैं, अर्थात् $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow c}$ [x] = [c] साथ ही f(c) = [c] अतः प्रदत्त फलन, उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है, जो पूर्णांक नहीं है।
दशा 2 मान लीजिए कि c एक पूर्णांक है। अतएव हम एक ऐसी पर्याप्ततः छोटी वास्तविक संख्या r > 0 प्राप्त कर सकते हैं जो कि [c - r] = c - 1 जबकि [c + r] = c है।
सीमाओं के रूप में, इसका अर्थ यह हुआ कि
$\lim \limits_{x \rightarrow c^{-}}$ f(x) = c - 1 तथा $\lim \limits_{x \rightarrow c^{+}}$ f(x) = c
चूँकि किसी भी पूर्णांक c के लिए ये सीमाएँ समान नहीं हो सकती हैं, अतः प्रदत्त फलन x सभी पूर्णांक मानों के लिए असंतत है।
आलेख से ऐसा प्रतीत होता है कि प्रदत्त फलन x के सभी पूर्णांक मानों के लिए असंतत है। नीचे हम छानबीन करेंगे कि क्या यह सत्य है।
दशा 1 मान लीजिए कि c एक ऐसी वास्तविक संख्या है, जो किसी भी पूर्णांक के बराबर नहीं है। आलेख से यह स्पष्ट है कि c के निकट की सभी वास्तविक संख्याओं के लिए दिए हुए फलन का मान [c]; हैं, अर्थात् $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow c}$ [x] = [c] साथ ही f(c) = [c] अतः प्रदत्त फलन, उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है, जो पूर्णांक नहीं है।
दशा 2 मान लीजिए कि c एक पूर्णांक है। अतएव हम एक ऐसी पर्याप्ततः छोटी वास्तविक संख्या r > 0 प्राप्त कर सकते हैं जो कि [c - r] = c - 1 जबकि [c + r] = c है।
सीमाओं के रूप में, इसका अर्थ यह हुआ कि
$\lim \limits_{x \rightarrow c^{-}}$ f(x) = c - 1 तथा $\lim \limits_{x \rightarrow c^{+}}$ f(x) = c
चूँकि किसी भी पूर्णांक c के लिए ये सीमाएँ समान नहीं हो सकती हैं, अतः प्रदत्त फलन x सभी पूर्णांक मानों के लिए असंतत है।
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