$x$ के सापेक्ष $x^{\sin x},$ का अवकलन कीजिए, जब कि $x > 0$ है।
EXAMPLE-32
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मान लीजिए कि $y = x^{\sin x} $ है। अब दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
$\log y = \sin x \log x$
अतएव $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = \sin x \frac{d}{d x}(\log x) + \log x \frac{d}{d x}(\sin x)$
या $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = (\sin x) \frac{1}{x} + \log x \cos x$
या $\frac{d y}{d x} = y\left[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x\right]$
$= x^{\sin x}. \left[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x\right]$
$= x^{\sin x - 1} \cdot \sin x + x^{\sin x} \cdot \cos x \log x$
$\log y = \sin x \log x$
अतएव $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = \sin x \frac{d}{d x}(\log x) + \log x \frac{d}{d x}(\sin x)$
या $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = (\sin x) \frac{1}{x} + \log x \cos x$
या $\frac{d y}{d x} = y\left[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x\right]$
$= x^{\sin x}. \left[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x\right]$
$= x^{\sin x - 1} \cdot \sin x + x^{\sin x} \cdot \cos x \log x$
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