आकृति में$\frac{{PS}}{{SQ}}=\frac{{PT}}{{TR}}$ है तथा$\angle$PST =$\angle$PRQ है। सिद्ध कीजिए कि$\triangle$PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
example-3
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यह दिया है कि, $\frac{{PS}}{{SQ}}=\frac{{PT}}{{TR}}$
अतः
ST || QR ... (यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।)
इसलिए$\angle$PST =$\angle$PQR ... (संगत कोण) ... (i)
साथ ही यह दिया है कि
$\angle$PST =$\angle$PRQ
अतः$\angle$PRQ =$\angle$PQR ... [(i) और (ii) से]
इसलिए PQ = PR ... (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात्$\triangle$PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः
ST || QR ... (यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।)
इसलिए$\angle$PST =$\angle$PQR ... (संगत कोण) ... (i)
साथ ही यह दिया है कि
$\angle$PST =$\angle$PRQ
अतः$\angle$PRQ =$\angle$PQR ... [(i) और (ii) से]
इसलिए PQ = PR ... (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात्$\triangle$PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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