यदि $a \neq 0$ हो तो समीकरण $\left|\begin{array}{ccc} x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0$ को हल कीजिए।
Miscellaneous Exercise-5
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दिया है,$ \left|\begin{array}{ccc} x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0$
$ \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3 x+a & 3 x+a & 3 x+a \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0 (R_1 \rightarrow R_{1 }+ R_{2 }+ R_{3 }$ से$)$
$\Rightarrow (3x + a)\left|\begin{array}{ccc} 1 & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0 [R1$ से $(3x + a)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$\Rightarrow (3x + a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ x & a & 0 \\ x & 0 & a \end{array}\right| = 0 (C_2 \rightarrow C_{2 }- C_1$ तथा $C_3 \rightarrow C_{3 }- C_1$ से$)$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$(3x + a)[1(a \times a - 0)] = 0 \Rightarrow a^{2 }(3x + a) = 0$
परन्तु $a \neq 0 ($दिया है$)$
अतः $3x + a = 0 \Rightarrow x = - \frac{a}{3}$
$ \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3 x+a & 3 x+a & 3 x+a \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0 (R_1 \rightarrow R_{1 }+ R_{2 }+ R_{3 }$ से$)$
$\Rightarrow (3x + a)\left|\begin{array}{ccc} 1 & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right| = 0 [R1$ से $(3x + a)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$\Rightarrow (3x + a) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ x & a & 0 \\ x & 0 & a \end{array}\right| = 0 (C_2 \rightarrow C_{2 }- C_1$ तथा $C_3 \rightarrow C_{3 }- C_1$ से$)$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$(3x + a)[1(a \times a - 0)] = 0 \Rightarrow a^{2 }(3x + a) = 0$
परन्तु $a \neq 0 ($दिया है$)$
अतः $3x + a = 0 \Rightarrow x = - \frac{a}{3}$
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