सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:
$\left|\begin{array}{ccc} \alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta \end{array}\right| = (\beta - \gamma) ( \gamma - \alpha) (\alpha - \beta) (\alpha + \gamma + \gamma)$
$\left|\begin{array}{ccc} \alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta \end{array}\right| = (\beta - \gamma) ( \gamma - \alpha) (\alpha - \beta) (\alpha + \gamma + \gamma)$
Miscellaneous Exercise-11
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माना $A = \left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^{1} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^{2} & \alpha+\beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \alpha+\gamma+\beta \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta+\gamma \end{array}\right| (C_3 \rightarrow C_{3 }+ C_{1 }$ से$)$
$= (\alpha + \beta + \gamma)\left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^{2} & 1 \\ \beta & \beta^{2} & 1 \\ \gamma & \gamma^{2} & 1 \end{array}\right| [C_{1 }$ से $(\alpha + \beta + \gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= (\alpha+ \beta + \gamma) \left|\begin{array}{ccc} \alpha & \alpha^{2} & 1 \\ \beta-\alpha & \beta^{2}-\alpha^{2} & 0 \\ \gamma-\alpha & \gamma^{2}-\alpha^{2} & 0 \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_1$ तथा $R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से $)$
$C_3$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = (\alpha + \beta + \gamma) [(\beta - \alpha) (\gamma^{2 }- \alpha^{2 }) - (\gamma - \alpha) (\beta^{2 }- \alpha^2)]$
$= (\alpha + \beta + \gamma) [(\beta - \alpha)(\gamma - \alpha) (\gamma + \alpha) - (\gamma - \alpha) (\beta - \alpha) (\beta + \alpha)]$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)(\gamma + \alpha - \beta - \alpha)$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\beta - \alpha) (\gamma - \alpha) (\gamma - \beta)$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha - \beta) ( \beta - \gamma) (\gamma - \alpha)$
$= (\alpha + \beta + \gamma)\left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^{2} & 1 \\ \beta & \beta^{2} & 1 \\ \gamma & \gamma^{2} & 1 \end{array}\right| [C_{1 }$ से $(\alpha + \beta + \gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर$]$
$= (\alpha+ \beta + \gamma) \left|\begin{array}{ccc} \alpha & \alpha^{2} & 1 \\ \beta-\alpha & \beta^{2}-\alpha^{2} & 0 \\ \gamma-\alpha & \gamma^{2}-\alpha^{2} & 0 \end{array}\right| (R_2 \rightarrow R_{2 }- R_1$ तथा $R_3 \rightarrow R_{3 }- R_{1 }$ से $)$
$C_3$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = (\alpha + \beta + \gamma) [(\beta - \alpha) (\gamma^{2 }- \alpha^{2 }) - (\gamma - \alpha) (\beta^{2 }- \alpha^2)]$
$= (\alpha + \beta + \gamma) [(\beta - \alpha)(\gamma - \alpha) (\gamma + \alpha) - (\gamma - \alpha) (\beta - \alpha) (\beta + \alpha)]$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)(\gamma + \alpha - \beta - \alpha)$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\beta - \alpha) (\gamma - \alpha) (\gamma - \beta)$
$= (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha - \beta) ( \beta - \gamma) (\gamma - \alpha)$
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