आव्यूह B = $\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$ को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
EXAMPLE-22
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यहाँ $B^{\prime}$ =$\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3 \end{array}\right]$
मान लीजिए कि
P = $ \frac{1}{2}$(B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc}2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ है।
अब P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$= P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
साथ ही मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right] $ है।
तब Q$ ^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{-1}{2} & 0 & -3 \\ \frac{-5}{2} & 3 & 0 \end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अब P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]$= B
अतः आव्यूह B एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया।
मान लीजिए कि
P = $ \frac{1}{2}$(B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{ccc}2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ है।
अब P$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$= P
अतः P = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
साथ ही मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right] $ है।
तब Q$ ^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{-1}{2} & 0 & -3 \\ \frac{-5}{2} & 3 & 0 \end{array}\right]$ = - Q
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (B + B$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अब P + Q = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right]$= B
अतः आव्यूह B एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त किया गया।
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