निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda\ (\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu\ (3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda\ (\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu\ (3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$
Exercise-11.2-10(2)
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माना $\theta$ दी गई रेखाओं के बीच का न्यून कोण है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|}\right|$
दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_{1}= \hat{{i}}- \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}_{2}=3\hat{{i}}-5 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}$ के समांतर हैं।
$\therefore \left|\vec{b}_{1}\right|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
$\left|\vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$
तथा $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}=(\hat{{i}}-\hat{{j}}-2 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}-5 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})$
$= 1 \times 3 - 1 \times (-5) - 2 \times (-4) = 3 + 5 + 8 = 16$
$\therefore \cos \theta = \left|\frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|}\right|=\frac{16}{\sqrt{6} \times 5 \sqrt{2}}=\frac{16}{10 \sqrt{3}}=\frac{8}{5 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left(\frac{8}{5 \sqrt{3}}\right)$
$\cos \theta = \left|\frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|}\right|$
दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_{1}= \hat{{i}}- \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}_{2}=3\hat{{i}}-5 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}$ के समांतर हैं।
$\therefore \left|\vec{b}_{1}\right|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
$\left|\vec{b}_{2}\right|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$
तथा $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}=(\hat{{i}}-\hat{{j}}-2 \hat{{k}}) \cdot(3 \hat{{i}}-5 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})$
$= 1 \times 3 - 1 \times (-5) - 2 \times (-4) = 3 + 5 + 8 = 16$
$\therefore \cos \theta = \left|\frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|}\right|=\frac{16}{\sqrt{6} \times 5 \sqrt{2}}=\frac{16}{10 \sqrt{3}}=\frac{8}{5 \sqrt{3}}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left(\frac{8}{5 \sqrt{3}}\right)$
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