फलन $f,$ के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
Exercise-5.1-16
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यहाँ, चूँकि $x \leq -1$ के लिए $f(x) = - 2, - 1 < x \leq 1$ के लिए $f(x) = 2x$ तथा $x > 1$ के लिए $f(x) = 2$ बहुपदी फलन है,
अतः सतत् फलन है। अब हम केवल $x = - 1$ तथा $x = 1$ पर सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
$x = 1$ पर, $\text{LHL} = \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} (- 2) = - 2$
तथा $\text{RHL} = \lim \limits_{x \rightarrow-1^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow-1^{+}} (2x) x = - 1 + h$ रखने पर, $x \rightarrow-1^{+} \Rightarrow h \rightarrow 0$
$x = - 1 + h$ रखने पर, $x \rightarrow-1^{+} \Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} 2(- 1 + h) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} (- 2 + 2 h) = - 2 + 0 = - 2$
पुनः $\ce{f(- 1) = - 2 LHL = RHL = f(- 1)}$
$\therefore\ce{ LHL = RHL = f(- 1)}$
अतः$f(x), x = - 1$ पर सतत् फलन है।
$\text{LHL} = 1 \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}}(2x)$
$x = 1 - h$ रखने पर, $h \rightarrow 1^- \Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} [2(1 - h)] = \lim \limits_{h \rightarrow 0} (2 - 2h) = 2 - 2 \times 0 = 2$
तथा $\text{RHL} = \lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} (2) = 2$
पुनः $f(1) = 2 \times 1 = 2 [\because f(x) = 2x]$
$\therefore\ce{ LHL = RHL = f(1)}$
अतः $f(x), x = 1$ पर सतत् फलन है।
अतः $f(x), x$ के प्रत्येक मान के लिए सतत् फलन है।
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