$y = \sin^{-1} (2 x \sqrt{1-x^{2}}), - \frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ में $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.3-14
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$\sin^{-1 }x = \theta$ , तब $x = \sin \theta$ रखने पर,
$\therefore y = \sin^{-1 }(2x \sqrt{1-x^{2}})$
$\Rightarrow y = \sin^{-1 }(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) (\because 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta )$
$\Rightarrow y = \sin^{-1 }(2 \sin \theta \cos \theta ) = \sin ^{-1 }(\sin 2\theta )$
$\Rightarrow y = 2\theta \Rightarrow y = 2 \sin^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} (\because \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}})$
$\therefore y = \sin^{-1 }(2x \sqrt{1-x^{2}})$
$\Rightarrow y = \sin^{-1 }(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) (\because 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta )$
$\Rightarrow y = \sin^{-1 }(2 \sin \theta \cos \theta ) = \sin ^{-1 }(\sin 2\theta )$
$\Rightarrow y = 2\theta \Rightarrow y = 2 \sin^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} (\because \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}})$
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