दर्शाइए कि $3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
example-11
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आइए इसके विपरीत मान लें कि $3 \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b(b $\neq$ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि $3 \sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$ हो। पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{3 b}$ प्राप्त होगा।
चूँकि 3, a और b पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{a}{3 b}$ एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b(b $\neq$ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि $3 \sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$ हो। पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{3 b}$ प्राप्त होगा।
चूँकि 3, a और b पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{a}{3 b}$ एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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