संख्याओं $4^n$ पर विचार कीजिए, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या $n$ का कोई ऐसा मान है, जिसके लिए $4^n$ अंक शून्य $(0)$ पर समाप्त होता है।
example-5
Download our app for free and get started
यदि किसी $n$ के लिए, संख्या $4^n$ शून्य पर समाप्त होगी तो वह $5$ से विभाज्य होगी।
अर्थात् $4^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ आनी चाहिए। यह संभव नहीं है क्योंकि $4^{n }= (2)^{2n}$ है।
इसी कारण, $4^n$ के गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्या $2$ ही आ सकती है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि $4^n$ के गुणनखंडन में $2$ के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है। इसलिए ऐसी कोई संख्या $n$ नहीं है, जिसके लिए $4^n$ अंक $0$ पर समाप्त होगी।
आप पिछली कक्षाओं में, यह पढ़ चुके हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों के $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग करके किस प्रकार ज्ञात किए जाते हैं। ऐसा करते समय, इस प्रमेय के नाम का उल्लेख नहीं किया गया था। इस विधि को अभाज्य गुणनखंडन विधि $($prime factorisation method$)$ भी कहते हैं। आइए, एक उदाहरण की सहायता से इस विधि को पुनः याद करें।
अर्थात् $4^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ आनी चाहिए। यह संभव नहीं है क्योंकि $4^{n }= (2)^{2n}$ है।
इसी कारण, $4^n$ के गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्या $2$ ही आ सकती है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि $4^n$ के गुणनखंडन में $2$ के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है। इसलिए ऐसी कोई संख्या $n$ नहीं है, जिसके लिए $4^n$ अंक $0$ पर समाप्त होगी।
आप पिछली कक्षाओं में, यह पढ़ चुके हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों के $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग करके किस प्रकार ज्ञात किए जाते हैं। ऐसा करते समय, इस प्रमेय के नाम का उल्लेख नहीं किया गया था। इस विधि को अभाज्य गुणनखंडन विधि $($prime factorisation method$)$ भी कहते हैं। आइए, एक उदाहरण की सहायता से इस विधि को पुनः याद करें।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1पूर्णांक के $26$ और $91$ युग्मों के $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल $=\text{HCF} \times \text{LCM}$ है।View Solution
- 2संख्याओं $6$ और $20$ के अभाज्य गुणनखंडन विधि से $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3View Solutionदर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
- 4दर्शाइए कि $3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 5पूर्णांक के 336 और 54 युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF $\times$ LCM है।View Solution
- 6संख्या $6, 72$ और $120$ का अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7पूर्णांक के 510 और 92 युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF $\times$ LCM है।View Solution