एक बहुमंजिल भवन के शिखर से देखने पर एक $8 m$ ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन-कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। बहुमंजिल भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
example-6
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आकृति में $PC$ बहुमंजिल भवन को और $AB, 8 m$ ऊँचे भवन को प्रकट करता है। हम बहुमंजिल भवन की ऊँचाई, अर्थात् $PC$ और दो भवनों के बीच की दूरी अर्थात् $AC$ ज्ञात करना चाहते हैं।
आकृति को अच्छी तरह देखिए। आप यहाँ देखेंगे कि $PB$ समांतर रेखाओं $PQ$ और $BD$ की एक तिर्यक-छेदी रेखा है। अतः $\angle QPB$ और $\angle PBD$ एकांतर कोण हैं और इसलिए बराबर हैं। अतः $\angle PBD = 30^\circ,$ इसी प्रकार, $\angle PAC = 45^\circ$
समकोण $\triangle PBD$ में
$\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ या $BD = \mathrm{PD} \sqrt{3}$
समकोण $\triangle PAC$ में हम पाते हैं
$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}} = \tan 45^\circ = 1$
अर्थात् $PC = AC$
और $PC = PD + DC$ इसलिए $PD + DC = AC$
क्योंकि $AC = BD$ और $DC = AB = 8 m,$ इसलिए $PD + 8 = BD = \mathrm{PD} \sqrt{3}$
इससे यह प्राप्त होता है: $PD = \frac{8}{\sqrt{3}-1}=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = 4(\sqrt{3}+1) m$
अतः बहुमंजिल भवन की ऊँचाई ${4(\sqrt{3} + 1) + 8} m = 4(3 + \sqrt{3}) m$ है और दो भवनों के बीच की दूरी भी $4(3 + \sqrt{3}) m$ है।
आकृति को अच्छी तरह देखिए। आप यहाँ देखेंगे कि $PB$ समांतर रेखाओं $PQ$ और $BD$ की एक तिर्यक-छेदी रेखा है। अतः $\angle QPB$ और $\angle PBD$ एकांतर कोण हैं और इसलिए बराबर हैं। अतः $\angle PBD = 30^\circ,$ इसी प्रकार, $\angle PAC = 45^\circ$
समकोण $\triangle PBD$ में
$\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{BD}} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ या $BD = \mathrm{PD} \sqrt{3}$
समकोण $\triangle PAC$ में हम पाते हैं
$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}} = \tan 45^\circ = 1$
अर्थात् $PC = AC$
और $PC = PD + DC$ इसलिए $PD + DC = AC$
क्योंकि $AC = BD$ और $DC = AB = 8 m,$ इसलिए $PD + 8 = BD = \mathrm{PD} \sqrt{3}$
इससे यह प्राप्त होता है: $PD = \frac{8}{\sqrt{3}-1}=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = 4(\sqrt{3}+1) m$
अतः बहुमंजिल भवन की ऊँचाई ${4(\sqrt{3} + 1) + 8} m = 4(3 + \sqrt{3}) m$ है और दो भवनों के बीच की दूरी भी $4(3 + \sqrt{3}) m$ है।
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