एक घन का आयतन $9 \ cm^3/s$ की दर से बढ़ रहा है। यदि इसके कोर की लंबायीं $10 \ cm$ है तो इसके पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है।
EXAMPLE-2
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मान लीजिए कि घन की एक कोर की लंबायीं $x \ cm$ है। घन का आयतन $V$ तथा घन के पृष्ठ का क्षेत्रफल $S$ है।
तब, $V = x^3$ और $S = 6x^2,$ जहाँ $x$ समय $t$ का फलन है।
अब $\frac{d \mathrm{~V}}{d t} = 9 \ cm^3/s ($दिया है$)$
इसलिए $9 = \frac{d \mathrm{~V}}{d t} = \frac{d}{d t} \left(x^{3}\right) = \frac{d}{d x} \left(x^{3}\right) \cdot \frac{d x}{d t}$ $($शृंखला नियम से$)$
$= 3x^{2 } \cdot \frac{d x}{d t}$
या $\frac{d x}{d t} = \frac{3}{x^{2}} ...(i)$
अब $\frac{d S}{d t} = \frac{d}{d t} (6x^2) = \frac{d}{d x} ( 6x^2) \cdot \frac{d x}{d t} ($शृंखला नियम से$)$
$= 12x \cdot \left(\frac{3}{x^{2}}\right) = \frac{36}{x} ((i)$ के प्रयोग से$)$
अतः, जब $x = 10 \ cm, \frac{d S}{d t} = 3.6 \ cm^2/s$
तब, $V = x^3$ और $S = 6x^2,$ जहाँ $x$ समय $t$ का फलन है।
अब $\frac{d \mathrm{~V}}{d t} = 9 \ cm^3/s ($दिया है$)$
इसलिए $9 = \frac{d \mathrm{~V}}{d t} = \frac{d}{d t} \left(x^{3}\right) = \frac{d}{d x} \left(x^{3}\right) \cdot \frac{d x}{d t}$ $($शृंखला नियम से$)$
$= 3x^{2 } \cdot \frac{d x}{d t}$
या $\frac{d x}{d t} = \frac{3}{x^{2}} ...(i)$
अब $\frac{d S}{d t} = \frac{d}{d t} (6x^2) = \frac{d}{d x} ( 6x^2) \cdot \frac{d x}{d t} ($शृंखला नियम से$)$
$= 12x \cdot \left(\frac{3}{x^{2}}\right) = \frac{36}{x} ((i)$ के प्रयोग से$)$
अतः, जब $x = 10 \ cm, \frac{d S}{d t} = 3.6 \ cm^2/s$
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