किस बिंदु पर $y = x + 1,$ वक्र $y^{2 }= 4x$ की स्पर्श रेखा है?
Exercise-6.3-27
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y^2 = 4x ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2y \frac{d y}{d x} = 4 $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{4}{2 y}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
$\therefore$ बिंदु $(x, y)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
$\Rightarrow$ दी गई रेखा $y = x + 1$ है $(\because y = mx + c)$
$\therefore$ रेखा की प्रवणता, $m = 1$
रेखा $y = x + 1$ दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा है, यदि रेखा की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर हो और रेखा वक्र को अवश्य काटती हो।
इसलिए, $\frac{2}{y} = 1$
$ \Rightarrow y = 2$ है
$y = 2$ समी $(i)$ में रखने पर, $2^2 = 4x $
$\Rightarrow x = 1$
अतः बिंदु $(1,2)$ पर रेखा $y = x + 1$ दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2y \frac{d y}{d x} = 4 $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{4}{2 y}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
$\therefore$ बिंदु $(x, y)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$
$\Rightarrow$ दी गई रेखा $y = x + 1$ है $(\because y = mx + c)$
$\therefore$ रेखा की प्रवणता, $m = 1$
रेखा $y = x + 1$ दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा है, यदि रेखा की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर हो और रेखा वक्र को अवश्य काटती हो।
इसलिए, $\frac{2}{y} = 1$
$ \Rightarrow y = 2$ है
$y = 2$ समी $(i)$ में रखने पर, $2^2 = 4x $
$\Rightarrow x = 1$
अतः बिंदु $(1,2)$ पर रेखा $y = x + 1$ दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा है।
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