$f$ के असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात करके, जब कि $f(x)= \begin{cases}x^3-3, & \ than\ x \leq 2 \\ x^2+1, &\ than\ x>2\end{cases}$ है।
Exercise-5.1-11
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यहाँ,$ f(x)= \begin{cases}x^3-3, & \ than\ x \leq 2 \\ x^2+1, &\ than\ x>2\end{cases}$
चूँकि $x < 2$ के लिए $f(x) = x^2 - 3$ तथा $x > 2$ के लिए $f(x) = x^2 + 1$ बहुपदी फलन है, अतः सतत् है। अब केवल $x = 2$ पर $f(x)$ की सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
$\therefore LHL = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} \left(x^{3}-3\right)$
$x = 2 - h$ रखने पर, $x \rightarrow 2^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0}$
$ \left[(2-h)^{3}-3\right] = \lim \limits_{h \rightarrow 0} (8 - h^3 - 12h + 6h^{2 }- 3)$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} (5 - h^{3 }- 12h + 6h^2) = 5$
तथा$ \text{RHL}= \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} (x^{2 }+ 1)$
$x = 2 + h$ रखने पर, $x \rightarrow 2^{+}$
$\Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} (2 + h)^2 + 1] = \lim \limits_{h \rightarrow0} (4 + h^2 + 4h + 1) = \lim \limits_{h \rightarrow0} (5 + h^2 + 4 h) = 5$
पुनः $f(2) = (2)^3 - 3 = 8 - 3 = 5 [\because f(x) = x^{3 }- 3]$
$\therefore \ce{LHL = RHL = f(2)}$
अतः$ f(x), x = 2$ पर सतत् फलन है।
यहाँ, f(x$)$ किसी भी बिंदु पर असतत् फलन नहीं है।
चूँकि $x < 2$ के लिए $f(x) = x^2 - 3$ तथा $x > 2$ के लिए $f(x) = x^2 + 1$ बहुपदी फलन है, अतः सतत् है। अब केवल $x = 2$ पर $f(x)$ की सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
$\therefore LHL = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} \left(x^{3}-3\right)$
$x = 2 - h$ रखने पर, $x \rightarrow 2^{-} \Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0}$
$ \left[(2-h)^{3}-3\right] = \lim \limits_{h \rightarrow 0} (8 - h^3 - 12h + 6h^{2 }- 3)$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} (5 - h^{3 }- 12h + 6h^2) = 5$
तथा$ \text{RHL}= \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} (x^{2 }+ 1)$
$x = 2 + h$ रखने पर, $x \rightarrow 2^{+}$
$\Rightarrow h \rightarrow 0$
$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} (2 + h)^2 + 1] = \lim \limits_{h \rightarrow0} (4 + h^2 + 4h + 1) = \lim \limits_{h \rightarrow0} (5 + h^2 + 4 h) = 5$
पुनः $f(2) = (2)^3 - 3 = 8 - 3 = 5 [\because f(x) = x^{3 }- 3]$
$\therefore \ce{LHL = RHL = f(2)}$
अतः$ f(x), x = 2$ पर सतत् फलन है।
यहाँ, f(x$)$ किसी भी बिंदु पर असतत् फलन नहीं है।
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