x के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}$
Exercise-5.2-5
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मान लीजिए y = $\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)} $
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
$ \frac{d y}{d x}$ = $\frac{d}{d x}\left[\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\right] $
= $\frac{\cos (c x+d) \frac{d}{d x}\{\sin (a x+b)\}-\sin (a x+b) \frac{d}{d x}\{\cos (c x+d)\}}{\{\cos (c x+d)\}^{2}}$ (भागफल नियम से)
= $\frac{\cos (c x+d) \cos (a x+b) \cdot(a+0)+\sin (a x+b) \sin (c x+d)(c+0)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
शृंखला नियम से [$\frac{d}{d x} \sin (a x+b)$ = $\cos (a x+b) \frac{d}{d x}(a x+b)$ = $\cos (a x+b) \times(a \times 1+0)$, $\frac{d}{d x} \cos (c x+d)$ = $-\sin (c x+d) \frac{d}{d x}(c x+d)$ = $-\sin (c x+d) \times(c \times 1+0)$]
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)+c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)}{\cos ^{2}(c x+d)}$ + $\frac{c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)}{\cos ^{2}(c x+d)}$ + $\frac{c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= a cos (ax + b) sec (cx + d) + c sin (ax + b) tan (cx + d) sec (cx + d)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
$ \frac{d y}{d x}$ = $\frac{d}{d x}\left[\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\right] $
= $\frac{\cos (c x+d) \frac{d}{d x}\{\sin (a x+b)\}-\sin (a x+b) \frac{d}{d x}\{\cos (c x+d)\}}{\{\cos (c x+d)\}^{2}}$ (भागफल नियम से)
= $\frac{\cos (c x+d) \cos (a x+b) \cdot(a+0)+\sin (a x+b) \sin (c x+d)(c+0)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
शृंखला नियम से [$\frac{d}{d x} \sin (a x+b)$ = $\cos (a x+b) \frac{d}{d x}(a x+b)$ = $\cos (a x+b) \times(a \times 1+0)$, $\frac{d}{d x} \cos (c x+d)$ = $-\sin (c x+d) \frac{d}{d x}(c x+d)$ = $-\sin (c x+d) \times(c \times 1+0)$]
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)+c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)}{\cos ^{2}(c x+d)}$ + $\frac{c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= $\frac{a \cos (c x+d) \cos (a x+b)}{\cos ^{2}(c x+d)}$ + $\frac{c \sin (a x+b) \sin (c x+d)}{\cos ^{2}(c x+d)}$
= a cos (ax + b) sec (cx + d) + c sin (ax + b) tan (cx + d) sec (cx + d)
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