एक खिलौना कंपनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कंपनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः ₹12 और ₹16 का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए।
Miscellaneous Exercise-10
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मान लीजिए कंपनी A प्रकार की x गुड़ियों तथा B प्रकार की y गुड़ियों का निर्माण करती है,
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(i)
x + y $\leq$ 1200 ...(ii)
y $\leq$ $\frac{x}{2}$ $\Leftrightarrow$ x - 2y $\geq$ 0 ...(iii)
x $\leq$ 3y + 600 $\Leftrightarrow$ x - 3y $\leq$ 600 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 1200 का ग्राफ खींचते हैं।
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(i)
x + y $\leq$ 1200 ...(ii)
y $\leq$ $\frac{x}{2}$ $\Leftrightarrow$ x - 2y $\geq$ 0 ...(iii)
x $\leq$ 3y + 600 $\Leftrightarrow$ x - 3y $\leq$ 600 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 1200 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 1200 | 0 |
| y | 0 | 1200 |
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 1200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 1200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 2 |
| y | 0 | 1 |
(200, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
200 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 200 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल X-अक्ष की ओर है।
अब रेखा x - 3y = 600 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 600 | 0 |
| y | 0 | -200 |
(0, 0) असमिका x - 3y $\leq$ 0 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 600 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 600 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
रेखा x - 3y = 600 तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु B(1050, 150) तथा रेखा x = 2y तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु C(800, 400) है।
मान लीजिए कुल लाभ Z है, तब Z = 12x + 16y
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(600, 0), B(1050, 150) तथा C(800, 400) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z के माना निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 12x + 16y |
| A(600, 0) | 7200 |
| B(1050, 150) | 15000 |
| C(800, 400) | 16000 $\rightarrow$ अधिकतम |
Z का अधिकतम मान C(800, 400) पर 16000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹16000 प्राप्त करने के लिए A प्रकार की 800 गुडियों तथा B प्रकार की 400 गुड़ियों का निर्माण करना चाहिए।
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