$x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y = [x(x - 2)]^{2 }$ एक वर्धमान फलन है।
Exercise-6.2-8
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दिया है, $y = [x(x - 2]^{2 }= [x^{2 }- 2x]^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 2(x^{2 }- 2x) \frac{d}{d x} (x^{2 }- 2x)$
$= 2(x^{2 }- 2x)(2x - 2) = 4x(x - 2)(x - 1)$
$\frac{d y}{d x} = 0$ रखने पर, $x = 0, 1$ और $2$
जोकि वास्तविक रेखा को चार अलग अंतराल $(-\infty, 0), (0,1), (1, 2)$ और $(2,\infty)$ में विभाजित करता है
इसलिए, $(0,1)$ और $(2, \infty)$ पर $y(x)$ वर्धमान फलन है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 2(x^{2 }- 2x) \frac{d}{d x} (x^{2 }- 2x)$
$= 2(x^{2 }- 2x)(2x - 2) = 4x(x - 2)(x - 1)$
$\frac{d y}{d x} = 0$ रखने पर, $x = 0, 1$ और $2$
जोकि वास्तविक रेखा को चार अलग अंतराल $(-\infty, 0), (0,1), (1, 2)$ और $(2,\infty)$ में विभाजित करता है
| अंतराल | $y^{\prime}(x)$ का चिन्ह | y(x) की प्रकृति |
| $-\infty, 0$ | $(-) (-) (-) = - $ve | निरंतर ह्रासमान |
| $(0, 1)$ | $(+) (-) (-) = + $ve | निरंतर ह्रासमान |
| $(1, 2)$ | $(+) (-) (+) = - $ve | निरंतर ह्रासमान |
| $(2, \infty)$ | $(+) (+) (+) = +$ ve | निरंतर ह्रासमान |
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