सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
Exercise-1.1-8
Download our app for free and get started
A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = {(a, b) : |a - b| सम है}
चूँकि सभी $a \in A$ के लिए, |a - a| = 0, जोकि सम है।
$\therefore (a, a) \in R, \forall a \in A \therefore R ,$ स्वतुल्य संबंध है।
अब, मान लीजिए (a, b)$ \in R \Rightarrow|a-b|$ सम है।
$\Rightarrow -(b-a)|$सम है।
$\Rightarrow |b-a|$ सम है।
$\Rightarrow (b, a) \in R, \forall a, b \in A \therefore R$, सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(a, b) \in R$
$\Rightarrow |a-b|$ सम है।
$\Rightarrow (a-b)$ सम है।
तथा (b, c)$ \in R$
$\Rightarrow |b-c|$ सम है। $\Rightarrow(b-c) $ सम है।
$\therefore (a-b)+(b-c)$ सम है।
$\Rightarrow (a-c)$ सम है। $\Rightarrow|a-c|$ सम है।
$\Rightarrow$ (a, c)$ \in R \therefore R,$ संक्रमक संबंध है।
अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक संबंध है। इसलिए R, तुल्यता संबंध है। अब, चूँकि समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव विषम हैं। अतः समुच्चय {1, 3, 5} के किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा। इसलिए समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव संबंध R द्वारा एक-दूसरे से संबंधित है।
इसी प्रकार, चूँकि समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव सम हैं। अतः समुच्चय {2, 4} के किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा। इसलिए समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव संबंध R द्वारा एक-दूसरे से संबंधित है।
पुनः चूँकि समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव विषम हैं तथा समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव सम हैं। अतः समुच्चय {1, 3, 5} के किसी अवयव तथा समुच्चय {2, 4} के किसी एक अवयव के अन्तर का मापांक विषम होगा। इसलिए समुच्चय {1, 3, 5} का कोई अवयव, समुच्चय {2,4} के किसी अवयव से, संबंध R द्वारा संबंधित नहीं है।
चूँकि सभी $a \in A$ के लिए, |a - a| = 0, जोकि सम है।
$\therefore (a, a) \in R, \forall a \in A \therefore R ,$ स्वतुल्य संबंध है।
अब, मान लीजिए (a, b)$ \in R \Rightarrow|a-b|$ सम है।
$\Rightarrow -(b-a)|$सम है।
$\Rightarrow |b-a|$ सम है।
$\Rightarrow (b, a) \in R, \forall a, b \in A \therefore R$, सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(a, b) \in R$
$\Rightarrow |a-b|$ सम है।
$\Rightarrow (a-b)$ सम है।
तथा (b, c)$ \in R$
$\Rightarrow |b-c|$ सम है। $\Rightarrow(b-c) $ सम है।
$\therefore (a-b)+(b-c)$ सम है।
$\Rightarrow (a-c)$ सम है। $\Rightarrow|a-c|$ सम है।
$\Rightarrow$ (a, c)$ \in R \therefore R,$ संक्रमक संबंध है।
अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक संबंध है। इसलिए R, तुल्यता संबंध है। अब, चूँकि समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव विषम हैं। अतः समुच्चय {1, 3, 5} के किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा। इसलिए समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव संबंध R द्वारा एक-दूसरे से संबंधित है।
इसी प्रकार, चूँकि समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव सम हैं। अतः समुच्चय {2, 4} के किन्हीं दो अवयवों के अन्तर का मापांक सम होगा। इसलिए समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव संबंध R द्वारा एक-दूसरे से संबंधित है।
पुनः चूँकि समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव विषम हैं तथा समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव सम हैं। अतः समुच्चय {1, 3, 5} के किसी अवयव तथा समुच्चय {2, 4} के किसी एक अवयव के अन्तर का मापांक विषम होगा। इसलिए समुच्चय {1, 3, 5} का कोई अवयव, समुच्चय {2,4} के किसी अवयव से, संबंध R द्वारा संबंधित नहीं है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ परिभाषित कीजिएView Solution
सिद्ध कीजिए कि शून्य $(0)$ इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq0$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $6 - a, a$ का प्रतिलोम है। - 2सिद्ध कीजिए कि R में $\mathrm{R}=\{(a, b): a \leq b\}$, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।View Solution
- 3सिद्ध किजिए कि समुच्चय $\mathrm{A}=\{x \in \mathbf{Z}: 0 \leq x \leq 12\}$, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:View Solution
- R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है},
- R = {(a, b) : a = b},
प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
- 4सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में $\mathrm{R}=\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\}$, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।View Solution
- 5किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए मान लीजिए कि $*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X), $जहाँ $A * B = (A - B) \cup (B - A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\phi,$ संक्रिया $*$ का तत्समक है तथा $P(X)$ के समस्त अवयव $A$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $A^{-1} = A..$View Solution
- 6जाँच कीजिए कि क्या R में $ \mathrm{R}=\left\{(a, b): a \leq b^{3}\right\}$ द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A $में, $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}\right): \mathrm{P}_{1}\right.$तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4,$ और $5$ लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8View Solutionसिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
- 9जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में $\mathrm{R}=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।View Solution
- 10यदि $f : R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = x^2- 3x + 2$ द्वारा परिभाषित, है, तो $f(f(x))$ ज्ञात कीजिए।View Solution