फलन का $x$ के सापेक्ष समाकलन कीजिए: $\frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
example-5(3)
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$\sqrt{x}$ का अवकलज $\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ है। अतः हम
$\sqrt{x} = t$ के प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं ताकि $\frac{1}{2 \sqrt{x}}dx = dt$ जिससे $dx = 2t dt$ प्राप्त होता है।
अतः $\int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{\tan ^{4} t \sec ^{2} t 2 t d t}{t} = 2\in t \tan^4t \sec^2tdt$
फिर से हम दूसरा प्रतिस्थापन $\tan t = u$ करते हैं ताकि $\sec^{2 }t dt = du$
इसलिए $2\in t \tan^4t \sec^2t dt = 2\in tu^{4 }du = 2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$
$=\frac{2}{5} \tan ^{5} t + C ($क्योंकि $u = \tan t)$
$=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x} + C ($क्योंकि $t = \sqrt{x})$
अतः $\int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}$
$\sqrt{x} = t$ के प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं ताकि $\frac{1}{2 \sqrt{x}}dx = dt$ जिससे $dx = 2t dt$ प्राप्त होता है।
अतः $\int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{\tan ^{4} t \sec ^{2} t 2 t d t}{t} = 2\in t \tan^4t \sec^2tdt$
फिर से हम दूसरा प्रतिस्थापन $\tan t = u$ करते हैं ताकि $\sec^{2 }t dt = du$
इसलिए $2\in t \tan^4t \sec^2t dt = 2\in tu^{4 }du = 2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$
$=\frac{2}{5} \tan ^{5} t + C ($क्योंकि $u = \tan t)$
$=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x} + C ($क्योंकि $t = \sqrt{x})$
अतः $\int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}$
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