क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का हो सकता है, जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Exercise-1.2-4
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नहीं,
औचित्य:
मान लीजिए $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,
$a = bq + r$ है, जहाँ $0\ r < b$
$b = 3$ के लिए, हमारे पास
$a = 3q + r$ है, जहाँ $0\ r < 3 ...(i)$
तो, संख्याएँ हैं $3q, 3q + 1$ और $3q + 2$ के रूप में।
अतः, $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$
$= 3m,$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
$(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 $
$= 3(3q^2 + 2q) + 1$
$= 3m + 1,$
जहाँ m एक पूर्णांक है।
$(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4,$
जिसे $3m + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक के वर्ग को $3m + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
औचित्य:
मान लीजिए $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,
$a = bq + r$ है, जहाँ $0\ r < b$
$b = 3$ के लिए, हमारे पास
$a = 3q + r$ है, जहाँ $0\ r < 3 ...(i)$
तो, संख्याएँ हैं $3q, 3q + 1$ और $3q + 2$ के रूप में।
अतः, $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$
$= 3m,$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
$(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 $
$= 3(3q^2 + 2q) + 1$
$= 3m + 1,$
जहाँ m एक पूर्णांक है।
$(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4,$
जिसे $3m + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक के वर्ग को $3m + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
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